Asymptotic Expansions of Eigenvalues of Periodic and Antiperiodic Boundary Problems for Singularly Perturbed Second Order Differential Equation with Turning Points
https://doi.org/10.18255/1818-1015-2016-1-61-85
Abstract
For a second order equation with a small factor at the highest derivative the asymptotic behavior of all eigenvalues of periodic and antiperiodic problems is studied. The main assumption is that the coefficient at the first derivative in the equation is the sign of the variable so that turning points exist an algorithm for computing all coefficients of asymptotic series for every considered eigenvalue is developed. It turns out that the values of these coefficients are defined by coefficient values of the original equation only in a neighborhood of turning points. Asymptotics for the length of Lyapunov zones of stability and instability was obtained. In particular, the problem of stability of solutions of second order equations with periodic coefficients and small parameter at the highest derivative was solved
About the Author
S. A. Kashchenko
P.G. Demidov Yaroslavl State University, Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia
Russian Federation
doctor of science, professor
Russian Federation
doctor of science, professor
References
1. Коддингтон Э., Левинсон И., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, ИЛ, М., 1958; English transl.: Coddington E., Levinson N., Theory of ordinary differential equations, McGraw-Hill Book Company, London, 1955.
2. Якубович В.А., Старжинский В.М., Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами, Наука, М., 1972; [Yakubovich V.A., Starzhinskiy V.M., Lineynye differentsial’nye uravneniya s periodicheskimi koeffitsientami, Nauka, M., 1972, (in Russian).]
3. Кащенко С.А., Устойчивость уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами, Ярославль, 2006; [Kashchenko S. A., Ustoychivost uravneniy vtorogo poryadka s periodicheskimi koeffitsientami, Yaroslavl, 2006, (in Russian).]
4. Кащенко C.А., “Асимптотика собственных чисел первой краевой задачи для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения второго порядка с точками поворота”, Моделирование и анализ информационных систем, 22:5 (2015), 682–710; [Kashchenko S. A., “Asymptotics of Eigenvalues of First Boundary Value Problem for Singularly Pertubed Second-order Differential Equation with Turning Points”, Modeling and Analysis of Information Systems, 22:5 (2015), 682–710, (in Russian).]
5. Кащенко C.А., “Асимптотические разложения собственных чисел первой краевой задачи для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения второго порядка с точками поворота”, Моделирование и анализ информационных систем, 23:1 (2016), 41–60; [Kashchenko S. A., “Asymptotics of Eigenvalues of First Boundary Value Problem for Singularly Pertubed Second-order Differential Equation with Turning Points”, Modeling and Analysis of Information Systems, 23:1 (2016), 41–60, (in Russian).]
6. Кащенко С.А., Колесов Ю.С., “Критерий устойчивости решений сингулярно возмущенных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами”, УМН, XXIX:4 178 (1974), 171–172; [Kashchenko S. A., Kolesov Y.S., “Kriteriy ustoychivosti resheniy singulyarno vozmushchennykh uravneniy vtorogo poryadka s periodicheskimi koeffitsiyentami”, UMN, XXIX:4 178 (1974), 171–172, (in Russian).]
7. Колесов Ю.С., “Периодические решения квазилинейных параболических уравнений второго порядка”, Тр. Моск. мат. общ., 21 (1970), 103–134; [Kolesov Y.S., “Periodicheskiye resheniya kvazilineynykh parabolicheskikh uravneniy vtorogo poryadka”, Tr. Mosk. mat. obshch., 21 (1970), 103–134, (in Russian).]
8. Наймарк М.А., Линейные дифференциальные операторы, Наука, М., 1969; [Naymark M. A., Lineynyye differentsial’nyye operatory, Nauka, M., 1969, (in Russian).]
9. Чаплыгин В.Ф., “Положительные периодические решения сингулярно возмущенных нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка”, Тр. научно-исслед. ин-та математики ВГУ, 2 (1970), 43–46; [Chaplygin V. F., “Polozhitel’nyye periodicheskiye resheniya singulyarno vozmushchennykh nelineynykh differentsial’nykh uravneniy vtorogo poryadka”, Tr. nauchno-issled. in-ta matematiki VGU, 2 (1970), 43–46, (in Russian).]
Review
For citations:
Kashchenko S.A. Asymptotic Expansions of Eigenvalues of Periodic and Antiperiodic Boundary Problems for Singularly Perturbed Second Order Differential Equation with Turning Points. Modeling and Analysis of Information Systems. 2016;23(1):61-85. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2016-1-61-85
Views:
1076
Email this article 