В работе исследуется задача асимптотического интегрирования некоторого класса линейных систем функционально-дифференциальных уравнений в окрестности бесконечности. Изучается вопрос о построении асимптотики решений указанных систем в критическом случае. С помощью идеологии метода центральных многообразий нами показано существование так называемого критического многообразия, положительно инвариантного относительно траекторий исходной системы. Установлено, что асимптотика решений системы на данном многообразии описывает в главном асимптотику всех решений исходной системы. В первой части работы предложен алгоритм приближенного построения критического многообразия. Кроме того, обоснована однозначная разрешимость возникающих в ходе реализации этой процедуры вспомогательных алгебраических задач.

В работе решается задача существования и устойчивости непрерывных волн R exp(iΛt) для модели лазера с ”синхронизацией мод в частотном диапазоне“. Эта модель представляет собой систему двух дифференциальных уравнений с запаздыванием. Время запаздывания предполагается достаточно большим. Для данной модели найдено условие существования непрерывных волн: параметры, задающие ” главную часть“ решения, должны лежать на некоторых кривых (Γ(κ, g0)). Найдены достаточные условия устойчивости непрерывных волн при всех достаточно больших значениях запаздывания. Изучено располо- жение областей устойчивости на кривых Γ(κ, g0). В случае нулевого фактора уширения спектральной линии лазера α для всех значений параметров коэффициента ослабления, описывающего линейные нерезонансные потери за обход резонатора, κ и параметра линейного ненасыщенного поглощения g0 аналитически найдены количество областей устойчивости и их границы на кривых Γ(κ, g0). Проведено сравнение результатов о расположении областей устойчивости на кривых Γ(κ, g0) для нулевого и ненулевого значений параметра α.

Рассматривается одна математическая модель нейронной сети на основе трёх нейронов-сумматоров Мак-Каллока–Питтса. Ранее для нее был проведен численный анализ особенностей динамики, в ходе которого исследовалась устойчивость различных режимов функционирования сети при малых изменениях текущего состояния, в том числе отмечались значения параметров, при которых динамика системы похожа на хаос. В представленной работе рассматривается задача анализа устойчивости состояний равновесия (стационарного режима функционирования) данной модели нейронной сети при различных значениях синаптических весовых коэффициентов обратной связи. В качестве основного результата приводится доказательство того, что нулевое состояние равновесия соответствующей динамической системы является неустойчивым при любых значениях параметров рассматриваемой модели нейронной сети.

В работе установлена асимптотическая эквивалентность динамики нейронных сетей, состоящих из импульсных нейронов и нейронных клеточных автоматов различных типов (автогенераторов и детекторов) при соответствующем выборе их параметров и при условии неналожения входных воздействий на каждый нейрон. В первом разделе описаны модель импульсного нейрона-автогенератора и две различные модели импульсного нейрона-детектора. Для этих моделей доказываются утверждения относительно величины латентного периода нейрона при единичном внешнем воздействии. Во втором разделе описана модель нейронного клеточного автомата с автогенераторной динамикой и модификация этой модели, имеющая детекторную динамику. Для этих моделей также доказываются утверждения относительно латентного периода нейронного автомата, находящегося под внешним воздействием. В третьем разделе для импульсных нейронов и нейронных клеточных автоматов различных типов сформулированы и доказаны утверждения относительно условий их асимптотической эквивалентности.

Статья продолжает работы по изучению свойств, обретаемых оператором дифференцирования Λ при распространении за границы пространства W_1¹ . Исследование проводится с помощью введения семейства пространств Yp¹, 0 < p < 1, имеющего аналогию с семейством Wp¹ , 1 ≤ p < ∞. Пространства Yp¹ снабжены квазинормами, построенными на основе квазинорм пространств Lp; Λ : Yp¹ → Lp. Дано достаточное условие того, чтобы функция, кусочно принадлежащая пространству Yp¹ , принадлежала этому пространству (если f ∈ Yp¹ [x_i-1; x_i ], i ∈ N, 0 = x₀ < x₁ < · · · < x₁ < · · · < 1, то f ∈ Yp[0; 1]). Другими словами, признак, когда выполняется равенство: Λ(S fi) = S Λ(fi). Из классических характеристик функций ближе других к достаточному условию находится ограниченность вариации по Жордану. Как следствие, получается, что если функция f кусочно принадлежит пространству W_1¹ и имеет ограниченную вариацию, то f принадлежит каждому пространству Yp¹ , 0 < p < 1.

Рассматривается задача минимизации погрешности кубатурной формулы на классах функций, задаваемых модулями непрерывности. Для кубатурных формул с фиксированными узлами на границе прямоугольной области и решетчатым расположением узлов дается точное решение задачи на широких классах функций двух переменных. Ранее Н.П. Корнейчуком было доказано, что если граничные узлы прямоугольной решетки Q_k,i  = { x_k-1 ≤ x ≤ x_k , y_i-1 ≤ y ≤ y_i} не включать в число узлов кубатурной формулы

Z Z (Q) f(x, y)dxdy = Xm k=1 Xn i=1 pkif(xk, yi) + Rmn(f), (1)

то среди всех кубатурных формул вида (1) наилучшей для классов функций H^ω1,ω2 (Q), H^ω1_p1 (Q) и H^ω1_p2(Q) является формула средних прямоугольников.

В работе доказано, что если в число узлов формулы (1) добавить все граничные узлы (такие формулы называются формулами типа Маркова), то для указанных классов функций наилучшей является формула трапеций. Вычислены точные оценки погрешности для всех классов функций.

В данной работе изучаются вопросы приближенного решения одной задачи точечного подвижного оптимального управления для системы нелинейного гиперболического и обыкновенного дифференциального уравнений с начальными и граничными условиями и нелинейным критерием оптимальности. Использование метода Фурье разделения переменных сводит обобщенное решение начально-граничной задачи к счетной системе нелинейных интегральных уравнений (ССНИУ). Для облегчения вычислительных процедур вместо ССНИУ рассматривается соответствующая конечная (укороченная) система нелинейных интегральных уравнений (КСНИУ). С помощью методов последовательных приближений и интегральных неравенств изучается однозначная разрешимость КСНИУ при фиксированных значениях управления. Оценивается допускаемая погрешность по состоянию «укороченного» обобщенного решения начально-граничной задачи. Приближенно вычисляется нелинейный функционал качества при известных оптимальных управляющих воздействиях.

Рассматривается логистическое уравнение с быстро осциллирующим периодическим по времени кусочно-постоянным или кусочно-линейным запаздыванием. Показано, что в первом случае усредненным уравнением является логистическое уравнение с двумя запаздываниями, а во втором — логистическое уравнение с распределенным запаздыванием. Получен критерий устойчивости состояния равновесия в каждом из случаев. Рассмотрен вопрос о динамических свойствах исходного уравнения при условии, когда в усредненном уравнении реализуется критический случай в задаче об устойчивости стационара. Установлено, что локальная динамика определяется ляпуновской величиной, знак которой зависит от параметров задачи.