Предложен вариант метода усреднения для систем уравнений, заданных на временных шкалах. Полученные результаты используются для построения асимптотики решений некоторых уравнений из класса дискретных адиабатических осцилляторов.

Построена квазинормальная форма для эволюционного уравнения, обоб-
щающего дифференциальное уравнение с большим запаздыванием.

Исследуется локальная динамика модели пассивного захвата мод для
полупроводникового лазера. В критическом случае построены эволюционные
уравнения, играющие роль нормальных форм. Показана возможность мультистабильности.

Получены асимптотики пространственно-неоднородных периодических
решений пространственно распределенного уравнения Хатчинсона с
периодическими краевыми условиями в случаях симметричного и несимметричного
насыщения. Численный анализ упрощенной модели демонстрирует
мультистабильность - сосуществование периодических решений вида бегущих волн,
среди которых, тем не менее, не наблюдается решений с полученной асимптотикой.

Изучается динамика распределенного ротора из материала с
нелинейнонаследственными свойствами, одна из опор которого испытывает
периодическую вибрацию. Математической моделью рассматриваемой механической
системы является система дифференциальных уравнений в частных производных
с бесконечным запаздыванием аргумента. Выявлены условия существования
хаотических колебаний. Вычислены ляпуновские показатели и ляпуновская размерность.

Рассматривается в линейной постановке задача о колебаниях пластинки в
сверхзвуковом потоке газа. Колебания такой пластинки изучаются в том
случае, когда один из ее концов жестко закреплен, а второй свободен. Найдены
те значения скорости потока, при которых реализуются внутренние резонансы
собственных частот 1:1, 1:2, 1:3. Определение скорости и соответствующих
частот сводится к системе из двух трансцендентных уравнений. Сама система
исследуется численно.

Исследуется динамика системы, описывающей взаимодействие двух
близких слабо связанных видов. Строится нормальная форма, которая сводится
к нормальной форме системы диффузионно слабо связанных уравнений Хатчинсона.

Изучается локальная динамика нелинейного комплексного
дифференциального уравнения с большим запаздыванием в окрестности нулевого решения.
При анализе задачи используется метод квазинормальных форм. Показано,
что роль нормальных форм в критических случаях бесконечной размерности
играют параболические уравнения Гинзбурга-Ландау.

Изучается динамика обобщенного уравнения импульсного нейрона с двумя
запаздываниями. Проведен локальный анализ потери устойчивости
ненулевого состояния равновесия задачи. С учетом полученных асимптотических
формул численно проанализированы фазовые перестройки, происходящие с
изучаемым уравнением.

Рассмотрена обобщенная модель импульсного нейрона В. В. Майорова и
И. Ю. Мышкина. В уравнение, описывающее нейрон, введено запаздывание не
только калиевой, но и натриевой проводимости относительно
трансмембранного потенциала. Доказаны существование и устойчивость периодического
решения уравнения нейрона, построено асимптотическое разложение решения.

Описываются общие правила организации объектов в иерархические
структуры. Приводятся различные типы связей, объясняется их роль в организации
объектов. Рассматриваются принципы выполнения операций копирования и
удаления объектов, не нарушающих логику связей между объектами.

Рассматриваются конечные почти простые SM_m-группы (см. определение
ниже). В первой части работы получены результаты о строении простых SM_2-
групп. Оказалось, что каждая из таких групп изоморфна группе L_2(q), где q = 2^t, а t> 1.

Доказываются новые геометрические оценки для проекторов, связанных с
полиномиальной интерполяцией непрерывных функций n переменных.

В 2010 в рамках научно-образовательного центра "Нелинейная динамика" продолжал работу научный семинар, посвященный исследованиям поведения, а также методам анализа динамических систем. За прошедший учебный год на нем было заслушано более 30 сообщений по тематике исследований научно-образовательного центра. Ниже представлены тезисы наиболее интересных докладов, прозвучавших на семинаре.